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>昨日の数学パズルの問題
>のつづき。この問題のどの辺が面白いか、というのは、ある種の人に限られる。トリビアルな問題とみなして「5/8か」と解いちゃう人向け。もう少し注意深いとその前に答えを見破ってしまうので。
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>さて、まず 5/8 を導くのはどうすればいいか。単純に両辺を自乗し、
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>(sinθ+cosθ)^2 = sinθ^2+2sinθcosθ+cosθ^2 = 9/4
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>ここで sinθ^2 + cosθ^2 = 1 を用いて、 sinθ×cosθ = 5/8 。かんたんかんたん。
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>で、だ。同じく sinθ^2 + cosθ^2 = 1 を使って次のように式変形してみよう。
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>sinθ+cosθ = sinθ^2 + cosθ^2 + 1/4 + 1/4
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>左辺を右辺に移項するとこうなる。
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>sinθ^2 - sinθ + 1/4 + cosθ^2 - cosθ + 1/4 = 0
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>するとこのようになる。
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>(sinθ - 1/2)^2 + (cosθ - 1/2)^2 = 0
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>自乗したものを足しているのの和がゼロなのだから、両方ともゼロでなければならない。つまり、 sinθ = 1/2、 cosθ = 1/2。すると sinθ×cosθ = 1/4 ということになる。
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>ということは 5/8 = 1/4 になってしまう。
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>さあ、どこに間違いがあるのだろうか？ というのが真の問題なのでした。
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