>結城さんの
>コレ
>
に答えてみる。
>
>まず、断面が正六角形になる切り方は
>この図
>の方法しかない(たぶん)。すると4通りしかないことがわかる。なぜなら、2つの切断面を構成する辺が共有されることがないからだ。各面につき、この切断面を構成する辺は4つしかないので、4×6=24本の辺がある。共有されないため、24÷6=4で、4つの正六角形に相当するとわかる。
>
>さて、すべて切断するとどうなるか。まず直観的にわかるのは、面の中央部分。各面は「四隅」がすべて切取られる。対称性から、切取られた残りは立方体の中央に到達する錐体となると考えられる。
>この図
>みたいな感じ。これが6つある。
>
>残りの、頂点近傍はどうなっているだろうか。まず、1回正六角形に切り取った残りについて、
>このような区分
>で考える。この立体に対して、残る3つの正六角形切りのうち「対面」の1つは影響を及ぼさない。「左右」の2つはこの立体を切取り、
>この図
>のような、三角錐を2つ貼りあわせたような形状が残される。これが8つ。つまり合計で14 個の「かけら」がある。
>
>では体積を計算しよう。
>
>簡単なのは錐体のほうだ。底面はもとの立方体の面の半分の面積だから 1/2。高さも、立方体の中央までで 1/2。したがって、 1/2 × 1/2 × 1/3 = 1/12 が1コの体積で、これが6つあるので、 1/12 × 6 = 1/2。
>
>三角錐を2つ貼る方はどうだろうか。この三角錐2つのうち、図でいうと右上の方は簡単で、合同な直角二等辺三角形3つが組み合わされた三角錐だ。問題は左下の方だ。ここで、「貼りあわせ面」については、ぜんぶ √2 / 2 の辺で、正三角形だということがわかる。そして、図の下面にある線も、上から眺めてみれば √2 / 2 と同じ長さになることがわかる。そして、元の立体の斜面にかかる2辺だが、ここで切断面は正六角形だということに注目し、また対称性から、この両辺もまた √2 / 2 だということがわかる。つまり、「左下」の三角錐は、一辺が √2 / 2 の正四面体である。
>
>一辺が 2 の正四面体は、計算してみたところ 2√2 / 3 である。一辺の比が √2 / 2 / 2 = √2 / 4 なのだから、体積比はこの三乗となる。すなわち √2 / 32 だ。したがって、一辺が √2 / 2 の正四面体の体積は、 2√2 / 3 × √2 / 32 = 1 / 24。で、「右上」の三角錐は、 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/3 = 1 / 48。足すと 1/24 + 1/48 = 3/48 = 1/16。この立体は各頂点に、つまりあわせて8つあるのだった。だから 1/16 × 8 = 1/2。
>
>よって合計すると 1/2 + 1/2 = 1。「かけら」の体積の総和はちゃんと1になった。
>
>途中で図を描くのがメンドくさくなってしまったので説明が端折られているが、たぶんあっていると思う(計算結果があってるし)。最初は、「左右」の2つを切取る体積を引いて計算したのだが、それは何だか「同じものを足して引いたら元通り」な感があって「邪道」に感じた(実際には違うが)。そこであれこれ考えていくうちに「実は正四面体」と気付いたのがなかなか楽しかった。
>
>ところで、「面部」の錐体の体積の合計と、「頂点部」の物体の体積の合計がちょうど等しくなっているというのも、なかなか面白い。
>
